Abstract
本論文使用預條件的廣義共軛梯度法，克服傳統迭代法解二維二群空間、 時間之中子動力方程時，當使用之時間步長增加，不易收斂之缺點。我們 使用的廣義共軛梯度法依其特性可分為三類：第一類為 BCG法及從BCG法 衍生出來的CGS法及BICGSTAB法；第二類為需要再起動(restarted)或截斷 的(truncated)的GGR(k)、GMRES(k)、GCGLS(k)及ORTHOMIN(k)；第三類為 具有擬極小殘餘特性的QMR，QMRS及TFQMR方法。同時我們也測試了古典共 軛梯度法解法方程(normal equation)。為了進一步加速廣義共軛梯度法 之收斂速度，我們測試了數種預條件技術：點的不完全LU分解，分塊的不 完全LU分解，及從基本迭代法所推導出來的交替方向預條件矩陣(ADI)和 塊對稱超鬆弛預條件矩陣(BSSOR)。我們的研究結果發現，當時間步長增 加時，預條件的廣義共軛梯度法比逐次超鬆弛法及契比雪夫迭代法的收斂 速度快很多。反應器動力計算的數值結果顯示，BICGSTAB法的收斂速度最 快，修正的分塊不完全LU分解是最有效的預條件矩陣。我們並且把Stone 的強隱法 (Strongly Implicit Procedure)與點的不完全LU分解作了聯 結，從聯結中，我們可對點的不完全LU分解、修正的點不完全LU分解及列 和條件(row--sum criterion)有更進一步的認識。由於這個聯結，我們也 證明在係數矩陣A為M--矩陣，但不是對角佔優時，修正的點不完全LU分解 ，必須使用廣義列和條件 (Mv=Av,v>0且Av>0, M為修正的點不完全LU預條 件矩陣)，才能保證分解的過程穩定(上三角矩陣U的對角元素皆>0)，我們 並且把QMR法應用在BICGSTAB法上，導出另一種TFQMR方法。為了進一步研 究廣義共軛梯度法的收斂特性，我們用Arnoldi法計算預條件後係數矩陣 的譜分佈，從理論上估計廣義共軛梯度法的迭代次數。我們的結論是廣義 共軛梯度法的收斂速度不僅與係數矩陣之條件數有關，並且與係數矩陣的 譜分佈有關；而逐次超鬆弛法(SOR)及 Manteuffel的契比雪夫迭代法，當 係數矩陣之條件數變大，收斂速度一定變慢。因此，廣義共軛梯度法的收 斂速度對時間步長較不敏感。選擇好的預條件矩陣，比選擇廣義共軛梯度 法更重要。論文的第二部份，針對碩士論文引進參數α於三層交替方向法 中，用以克服傳統交替方向法解非均質反應器暫態時，當使用較大之時間 步長，發生數值不穩定之缺點。當時並未對引進參數α提出理論依據，並 且當時參數α的值是由輸入給定。本論文將提出引進參數α之理論依據， 並建立如何選取參數α之方法。我們給出兩個數值測試之結果。