Abstract
這篇文章給出對某些黎曼流形 M 上的格林函數 G(x,y) (Green's function) 與熱核 (Heat kernel) 函數 H(x,y,t) 上下界的估計o研究的 流形包括兩類,一為緊緻無邊界之流形,二為完備非緊流形,且其 Ricci曲 率有下界,體積有限,.lambda. >0 (.lambda. 將在正文中定義) o 在這 兩種情形之下,G(x,y) 均定義為 G(x,y) =.int. H(x,y,t)-1/V dt,其中 V 是流形 M 的體積o在 Davies - Pang [7] 及 Li - Yau [8] 的論文中 曾估計過這些流形上的熱核,但是當 t 趨近於無窮大時,這些估計並不會 趨近於 1/V o當流形非緊時,Chavel - Karp [3] 證明熱核趨近於 1/V,旦並未給出趨近的速率o因此這些結果均無法得到對格林函數的估計o 在 這篇文章中我改進當時間 t 大時對 H(x,y,t) 的估計,並由此得到對格林 函數的估計o最後一節證明在 Ricci 曲率非負流形上,若一熱方程式解之 啟始值為非負且具有緊支集之函數,則對任意時間 t,此解發生極大值位置 距此緊支集距離一定小於 (常數* .sqroot.(d^2+t)),此常數只與流形之 維度有關, d 為此緊支集之直徑o 此結果較 Chavel - Karp [2] 為佳,其 結果為 (常數* .sqroot.(t\ln t)),此常數與此緊支集有關o