Abstract
In this thesis we establish a functional approach to prove the existence of
Ginzburg-Landau spiral waves. Based on systematic considerations, we justify
the popular m-armed spiral Ansatz by equivariance and the variational
structure of the real Ginzburg-Landau equation. This spiral Ansatz transforms
the Ginzburg-Landau equation into an elliptic equation. To solve this elliptic
equation by our functional approach, we adopt global bifurcation analysis and
the result of existence is essentially a consequence of compactness. The
advantage of our functional approach is threefold. First, it avoids smart, but
tricky, estimates used in the shooting method. Second, it works for more
general underlying spatial domains, not only in the circular geometry, but
also in the spherical geometry. Third, it permits the occurrence of a mixed
diffusion process when a complex diffusion parameter is introduced. Thus our
result of existence of rigidly-rotating spiral waves greatly generalizes those
in the literature. Moreover, we prove the existence of two new patterns:
frozen spirals in circular and spherical geometries, and 2-tip spirals in the
spherical geometry.
In dieser Arbeit etablieren wir eine funktionalanalytische Methode, um die
Existenz von Ginzburg-Landau Spiralwellen zu beweisen. Auf der Grundlage von
systematischen Erwägungen rechtfertigen wir den beliebten m-armigen
Spiralansatz mit Hilfe von Äquivarianz und der variationellen Struktur der
reellen Ginzburg-Landau Gleichung. Dieser Spiralansatz verwandelt die
Ginzburg-Landau-Gleichung in eine elliptische Gleichung. Um diese elliptische
Gleichung mit unserer funktionalanalytischen Methode zu lösen, führen wir eine
globale Bifurkationsanalyse durch, und das Ergebnis der Existenz ist im
Wesentlichen eine Folge der Kompaktheit. Aus unserer funktionalanalytischen
Methode ergeben sich drei Vorteile: Erstens vermeidet sie die raffinierten,
aber heiklen Abschätzungen der shooting-Methode. Zweitens funktioniert sie für
allgemeinere zugrunde liegende räumliche Bereiche, und dies nicht nur in der
Kreisgeometrie, sondern auch in der sphärischen Geometrie. Drittens ermöglicht
sie das Auftreten eines gemischten Diffusionsprozesses, wenn ein komplexer
Diffusionsparameter eingeführt wird. In diesem Sinne ist unser Ergebnis eine
große Verallgemeinerung der Existenzresultate in der Literatur. Insbesondere
beweisen wir die Existenz von zwei neuen Mustern; den gefrorenen Spiralwellen
in der Kreisgeometrie und der sphärischen Geometrie, sowie den 2-Spitzen
Spiralen in der sphärischen Geometrie.