Abstract
本文最主要是利用一維標準型之反射型布朗運動,來解決薛丁格方程之諾 曼邊界問題.我們將問題分成兩部分來解決.第一部分討論有界區間. 在1985年,許佩先生在考慮 (N(D;q,0))的特徵值均為負的條件下,發現了 一個唯一的弱解. 在1988年,馬志明先生和宋仁明先生在不需要規範函數( Gauge function)為有限的條件下,也找出了一個唯一的弱解.在本文中的 第六節,我們提供了定理6.2,來驗證上述兩個結果的正規性質.也就是說, 在零不是 (N(D;q,0))的特徵值的條件下.我們找到了一個唯一的強解( classical solution)(詳見英文附錄的定理6.5). 第二部分討論非有界區 間.這個部分我們將之分為四個章節來討論.在第二節,我們討論只有一個 反射點的一維標準型之反射型布朗運動,我們亦介紹一維標準型之反射型 布朗運動背後的transition density,以及介紹 local time.在第三節我 們討論費曼-凱因半群 (Feynman-Kac Semigroup)的一些性質.在性質3.8 中,我們證明了費曼-凱因算子是一個對稱的算子.在性質3.7中,我們亦證 明費曼-凱因算子在某一個函數空間中(詳見英文附錄),是一個收縮映射( contraction map).在第四節中的定理4.2,我們證明了在q,u是有界連續函 數的條件下,古典中弱解的定義(weak solution of classical formulation)和用平賭理論定義的弱解(weak solution of martingale formulation)是等價的.在比定理4.2還要弱的條件下,我們找到了一個在 平賭理論定義下的弱解(詳見英文附錄的定理4.4). 在第五節中,我們驗證 出定理4.4中的弱解,實為薛丁格方程之諾曼邊界問題的強解.在第五節末, 我們亦提供了一個例子, 來佐證我們的結果.