Abstract
在此篇論文中，我們考慮一實係數λ多項式矩陣的廣義特徵值問題 r(1.1) Ｆ(λ)χ≡(Ａ□＋λＡ□＋ … ＋λ Ａr)χ＝０，此處Ａj 是Ｎ×Ｎ的實數矩陣，ｊ＝０,１,…,ｒ 。我們稱滿足(1.1) 式的λ為特徵值，χ為其對應的特徵向量。一般而言，這些矩陣都是大型稀疏 (large andsparse) 的，所以我們有興趣的特徵值，通常是一個被給定特定值μ□附近的數個。比方說欲求廣義特徵值問題(1.1) 中，絕對值最小（即最靠近０）的ｒ個特徵值，其中ｒ＜＜ｎ。在解這類問題時，我們希望計算方法具有如右的性質：(P1)保持實數結構。(P2)有效。第一個性質是可以節省計算機的儲存空間和部份計算量，第二個性質則希望儘可能依序求得給定值附近ｒ個特徵值，不會發生任何誤取。對於(P2)一般必須考慮所謂的縮減法才不致於誤取。所以本文中，我們除了提供一個具有(P1)和(P2)性質的計算方法之外，並將與一些已知的縮減法進行比較。我們的方法是用SVD 分解，進行牛頓法疊代，而在第一個最靠近的特徵值μ□求得之後，利用一個稱之為非等價轉換縮減法去求第二個最靠近的特徵值μ□。此種轉 ＿換法保有實數運算，避免破壞Ａj 矩陣的實數結構，並且將已求得的μ□及μ□（若μ□是複數特徵值時）轉換成無窮大，而保有其餘的特徵值及特徵向量（有一固定轉換公式）因此(1.1) 中第二個最靠近μ□的解變成新λ多項式矩陣第二個最靠近μ□的解，透過此種轉換法我們結合牛頓法疊代，可以有效將新λ多項式矩陣第一個最靠近μ□的解求出。如此可繼續求得其餘第三，......，第ｒ個靠近μ□的特徵值。透過一些分析與計算機模擬，我們將可知道，在一些情形下，我們所提供的方法比已知的其他方法有效，而在計算量方面，相對於這些方法，我們所提供的方法也較便宜。