Abstract
給定實數對稱矩陣K,C,M, 其中K是半正定, M是正定.我們有興趣的是下面 這二次特徵值問題的數值解. F(v)x=(v*v M+v C+K)x=0 (1.1)這問題部分來自結構動力學, 也就是與振動有關的問題.其中 M 表質量矩陣, C表阻尼矩陣, K表硬度矩陣. 一般工程上所關心的是當一個 結構体(例如汽車.房子)在受到外力(例如車子的振動或地震)之後, 它本 身所產生的振動能不能適當的衰退, 也就是說結構体能不能夠很快的恢復 到原來的平衡狀態. 而我們也知道結構体產生振動是為要吸收外力對結構 体的作用, 但這個振動的振幅也不能太大, 否則結構裡面的人會不舒 服. 所以我們希望振動的振幅能夠有一理想的衰退. 因此數值上所關心的 是如何得到那些最低頻率和相關振幅衰退速率的特徵值, 也就是若特徵值 為複數時, 則它的實部代表振幅大小, 虛部代表頻率大小. 所以只有一部 分相關於複數而虛部最小的那幾個特徵值才被需要.我們打算利用牛頓法 來求解(1.1). 而牛頓法的起始值選取又很重要, 所以我們將提供兩種起 始值的猜測法. 第一個稱之為C-猜測, 第二個稱之為G-猜測. 我們將在後 面兩節分別討論.本篇文章的架構大致如下: 第二節我們介紹C-猜測. 它 是一個新的猜測法. 它有個前提是我們按照傳統假設阻尼矩陣大約是質量 矩陣和硬度矩陣的線性組合. 在這假設下,它有不錯的數值結果. 第三節 我們介紹G-猜測. 它的想法是來自P.Lancaster 的概念. 這個方法在阻尼 矩陣小的時候比較準. 這兩個猜測法我們都必需計算出Kx=wMx 的最小前 幾個特徵值. 在第四節我們將推廣Davidson 的方法來解上列問題. 在第 五節我們給一些例子來分別比較C-猜測和G-猜測. 最後一節我們再給一個 結論. 有關其中的詳細內容請見英文附錄.