Abstract
在本篇論文中, 我們主要探討以有限體多項式為係數的二次型, 並且介紹有限特徵函數體 Fq(t)的二次擴張體中的階, 建立二次型類群與理想類群間的對應.把所有有限體多項式所成的環記為 R. 在第一節中, 仿照古典數論, 我們首先定義 R上的 Legendre 記號, 再根據此定義導出 R上的二次互反律. 第二節□, 我們開始定義二次型的等價及乘積, 並且將我們的研究重點擺在虛二次型: D 是奇次多項式或 D的首項係數是有限體 Fq中的平方數, 其中 D是二次型的判別式. 我們更進一步將虛二次型分成三種類型: D 是首項係數為平方數的奇次多項式, 首項係數不為平方數的奇次多項式, 及首項係數不為平方數的偶次多項式, 分別在第三, 四, 五節討論. 由第二節所定義的乘積, 所有判別式為 D的二次型之等價類可構成一個二次型類群 C(D),再將 C(D) 中的等價類以虧格做分類,可推導出最主要的虧格定理, 並且可以發現虧格的個數與 C(D) 中階小於等於 2的元素個數一致. 第六節中,我們討論與 Euler 在整數中所定義的便數類似的 R上的便數, 並且得到一個判別便數的充分必要條件.在第七節, 我們討論 Fq[t]的虛二次擴張體中的階. 我們發現最大的階是擴張體的整數環; 它同時也是一個 Dedekind 域. 另外, 我們可定義階的前導子及判別式, 並且得到判別式為 D的階中的理想類群與判別式為 D的二次型類群間的一個同構關係. 在最後, 利用整數環與一般的階之間的關係, 我們可以獲得一個計算理想類群個數的公式.