Abstract
本篇論文主要討論兩件事，第一件是關於空間中的布置，第二件是關於相變。在一平面上若有數條直線，則此平面被初分成數塊區域。很自然的我們會問平面上共有幾塊區域或直線被切分成幾塊等問題，處理這類計數問題的論文有限多：Grunbaum, Steiner 和Schlafli分別給出二維和三維歐氏空間的解答。將此類問題推廣到n 維空間被n-1 維超平面所切割的狀況時，Buck給出任意維歐氏空間和射影空間的中核布置答案，Zaslavsky 給出任意維歐氏空間和射影空間的任意布置答案，本文主要討論如何將此類高維問題轉化為低維問題。當超平面所形成的布置具有某種對稱性時，如李代數根系統所形成的布置，可化為圖論上節點與其上連線的關係。故本文計算節點數從1 到5 和具有特殊點線關係的顏色多項式。關於相變的問題，一般從計算系統的 Hamiltonian開始，再計算其上的自由能。由討論自由能的微分是否連續來判斷相變是否發生和相變階數。在實際問題上我們須將Hamiltonian 和自由能以系統變量的齊次式微擾展開。也就是說欲更精確的逼近真實世界時，高階項的計算是不可避免的。而此類計算可由Molien函數來完成，故本文討論兩種Molien函數的代數計算公式。