Abstract
設(M,g) 是一個n□ 維緊致、無邊的光滑黎曼流形，命[g] 為 M 上所有 逐點保角于g 的黎曼度量的集合。從微分幾何的角度來看，我們最有興趣 的是在每個度量的保角等價類[g] 中找一個"較好的"、使得其純量曲率是 常數的度量。由複變函數論中的單值化定理 (Uni- formazation Theorem)可知，在n=2 的情形這件事是總能辦到的。而在n□ 的情形，我 們稱此問題為 Yamabe 猜測。在本文中，我們引進卡拉比流 (Calabi flow)的觀念，並試圖想藉此流來重解低維度的 Yamabe 問題。其中主要 探討三維的情形，即考慮三維緊流形的卡拉比流。這個卡拉比流是一個四 階的拋物型微分方程，不像一般幾何拋物型流是二階的 (如Ricci 流、 harmonic 流)，所以這個問題在處理上往往是比較複雜的。在這篇論文中 ，我們証明了此流解的大範圍存在性與收斂性。其是否收斂到具有純量曲 率是常數的度量，情形我們雖尚未清楚，但斷定該是如此；不過這還需要 往後更進一步的探討。若能証得此事，我們便能得到三維緊流形 Yamabe 問題的解決。本文中証明的想法及技巧主要來自我的指導老師--張樹城教 授的曲面上的卡拉比流，並參考了 P.T. Chrusciel 的文章。本文分五節 ：第一節前言；第二節探討卡拉比流的一些基本特性；第三節我們由非線 性拋物型方程的一些基本理論來得到此流解的局部存在性；第四節我們 由 Bochner公式，導出此流的某種遞減特性 (引理 4.1) ，如此得到一些 先驗的估計，進而証明了大範圍的存在性；第五節我們証此流的解收斂到 一個臨界的度量。