Abstract
本篇論文先討論用unitary symplectic矩陣把有純虛數特徵值的Hamiltonian 矩陣轉換成schur-type，這種相似形轉換能保持Hamiltonian 矩陣的結構，以方便各種分析與運算。我們證明Hamiltonian 矩陣Schur 分解存在的充要條件是其純虛數特微值的代數數為偶數。Riccati 方程＜-XNX+XA+A X+G=O＞ 對稱解存在的充要條件是其所對應的Hamiltonian 矩陣的純虛數特徵值的代數數為偶數。我們也討論有純虛數特徵值的Hamiltonian 和symplectic pencils Schur-type 分解。本篇論文的主要結果如下：定理２．２＜Hamiltonian 矩陣的Schur 分解＞：令M ＝[A N/G -A] C ，是Hamil-tonian 矩陣，其中N =N, G =G, 則存在unitary symplectic矩陣Q=[Q Q/-Q Q ],Q, Q C 使得Q MQ=[TR/O-T ], T, R C, 其中T 是上三角矩陣，R =R，若且唯若，M 的每一個純虛數特徵值的重根個數為偶數。定理３．３：Hamiltonian pencil<M- >的Schur type分解存在的充要條件為<M- >的每一個無限或純虛數特徵值的重根個數為偶數。定理３．３：symplectic矩陣S<S JS=J> 的Schur symplectic分解存在的充要條件為S 每一個絕對值等於1<∣∣=1> 特徵值的重根個數為偶數。定理３．４：symplectic pencil<M- L >的Schur symplectic分解存在的充要條件為S 的每一個絕對值等於1<∣ ∣=1>特徵值的重根個數為偶數。定理４．１：假設N=BB O和＜A ，B ＞矩陣對是稱定化的，則下列敘述是對等的：＜ｉ＞Riccati 方程存在對稱解。＜ｉｉ＞M 的每一個純虛數持徵值的重根個數為偶數。