Abstract
此篇論文主要在探討 Lanczos法與Arnoldi 法在解大型稀疏矩陣特徵值問題 (largesparse eigenvalue problem)的一些應用。在第一章裹，我們將導出一個 Lanczos法則來解量子化學 (quantum chemistry)上的一個線性反應 (linear response)特徵值問題(L-λM)X≡(〔Σ△-△-Σ〕-λ〔ABBA〕)〔x1x2〕=0，在此A,B 和nxn 的對稱 (symmetric)矩陣，△是 nxn的斜對稱 (skew symmetric) 矩陣，且〔A BB A〕是正定 (positive definite)。我們的法則有效地應用L 和M 的成雙結構(paired structure)，可看成是應用雙對角線化 (bidiagonalization)來求奇異值 (singular value) 的一個推廣。在第二章里，我們提出一個實移位和反置 (real shift-and-invert)的技巧來求解一個大型非對稱矩陣的一些實部 (real part)最大的特徵值。我們指出應用 Arnoldigo法來作預估，則一個實移位和反置的技巧結合 Arnoldi法或子空間迭代法可有效地來作修正。同時我們還提出一個有理式 (rational) 的加速技巧，它的想法是應用一個有理式算子 (rational operator) B=(A-αⅠ)-1(A+βⅠ) 來代替移位和反置算子(A-σⅠ)-1。此技巧的好處在於當我們應用空間迭代法來解非對稱矩陣的特徵值問題時，實部最大的特徵值會先收斂。