Abstract
在數值分析及科學研究中常常遇到的一個問題就是去解一個對稱不定的線 性系統，而且由解此系統可以去解決其它許多應用，其中一個就是最小平 方問題。 我們在文中介紹了三種方法去解此系統:(1)CG-MRES法(2) SYMMLQ法 (3) SQMR法，並比較它們在實際操作中數值上的結果，我們所 得到的結果是，在矩陣的條件值不好之情況下，CG-MRES 法比SYMMLQ法穩 定且收斂較好，和SQMR法是有競爭力。 而在實驗中我們發現對CG-MRES 法而言，我們若能保有其所要求的垂直性，我們可以得到較好的數值收斂 結果，但是很可惜因為機器計算誤差的關係，這垂直性會慢慢喪失掉，於 是我們必須採取一些步驟，去維持這垂直性，我們所選用的是選擇性重垂 直化，這可使我們所希望的垂直性保持的很好，又不會大量的增加計算量 和所需記憶體了量，且隨著程序中所收斂的Ritz-pair，可以當作矩陣的 特徵對的一個好的估計，這個訊息可以提供我們去估計Tikhonov正則化的 參數，解決Tikhonov正則化問題。對於解決最小平方問題還有另一稱為 LSQR法，此法是源自於已有的 Bidiagonalization Lanczos 而來，而我 們從本文的推導可以得知，雖然LSQR法對Bidiagonalization Lanczosy做 一些變化，但實質理論上兩者是等價的。本文共分六節：第一節介紹；第 二節CG-MRES 及一些方法；第三節 CG-MRES 的選擇性重垂直；第四節解 決最小平方問題的方法；第五節有關Tikhonov正則化及其參數估計；第六 節結論。