Abstract
雅可比矩陣的固有值問題一直是令人感興趣的領域.近幾年來,我們發現有一類較特殊的雅可比矩陣在Sturm-Liouville固有值問題的研究上扮演著重要的角色.這一類特殊的雅可比矩陣是在Sturm-Liouville方程式的離散化過程中發現的,在 F. Gesztesy和 B. Simon的論文中,他們把這一類特殊的雅可比矩陣稱為離散型Schrodinger算子.這篇論文的目的就是研究一些離散型Schrodinger算子的固有值問題. 在第二節中,我們考慮雅可比矩陣的固有值問題.在1946年, Borg證明了下列的定理: 若q(x)是偶函數,即 q(x)=q(1-x),則方程式 y"(x)+[k-q(x)]y(x)=0, y'(0)=0=y'(1) 或 y"(x)+[k-q(x)]y(x)=0, y(0)=0=y(1) 的譜唯一決定q(x). 因為persymmetric雅可比矩陣可視為"偶"雅可比矩陣,這個定理促使Hochstadt去研究進而證明了persymmetric雅可比矩陣的唯一性問題,但關於存在性的問題卻沒有更進一步的研究.運用雅可比矩陣的連方式表示法,以及連分式的矩陣分解法,我們證明了任意給定n個相異數,以這n個相異數為固有值之persymmetric雅可比矩陣的存在性. 在第三節中,考慮Levinson在他論文中提及的一個現象.由於離散型Schrodinger算子可視為Sturm-Liouville方程式的離散化,應該會有類似的現象.我們證明了Levinson定理在離散型Schrodinger算子中也成立,且做了一個小小的推廣. 在第四節中,引進了廣義方向導數的想法,以及使用Lagrange乘數的方法,考慮離散型Schrodinger算子在其對角元平方和等於一的情況下,其最大的固有值達到最小及最小的固有值達到最大各是在何處.