Abstract
令n大於或等於2.在n維的歐基里得空間,給定一個開連通D,在D的邊界上存 在往內的單位法向量場 v. 而另一個往內之單位向量場 r, 則不會太" 斜",也就是說r和v的內積大於一個常數 K,K大於0而小於1.現在考慮在D上 的反射型布朗運動.對此種運動的存在性,唯一性,已有許多人做過探討.例 如:Tanaka, P.L. Lions 和 A.S. Sznitman, A.S. Sznitman, 及 Yasumasa Saisho等人探討出,當D滿足適當的情況(例如,D是凸集或邊界滿 足"一致外球條件")時,給定起始點,則必存在唯一一個強解.在這篇論文裡 頭,我們探討當反射型布朗運動的反射區域是單位球的內部或外部時,會有 那些現象發生.首先是兩個行這種垂直反射布朗運動,而出發點不同的兩個 粒子,有沒有可能相碰的問題.這問題是由Steven. Orey 提出來的.當n=2 時,M.Cranston和Y.Le Jan證出,不管反射區域是球的內部或外部,這兩個 粒子不相碰的機率都是1.而藉由適當地修正他們的證明,我們發現,即使n 大於2,這兩個粒子不相碰的機率仍然為1.而另方面,M. Cranston和Y. Le Jan 也告訴我們,當 n=2,而反射區域為球的內部時,任何兩個出發點不同 的粒子,雖然不會相碰,可是,幾乎可以確定,它們可以同時落在邊界上.而 除了這3個主要的結果,我們也對這種以球面為反射邊界的粒子的一些性質 感到好奇.例如它落在邊界上的時間形成什麼樣的集合,局部時間和時間的 比值是否趨近一個定值,及兩個粒子間的距離如何變化等等.第一節是簡 介.第二節討論一些基本性質,第三節證明球內部出發點不同的垂直反射布 運動粒子不相碰, 第四節延續第三節,證明球外部亦有相同之結論.而第五 節則證明球內部兩個粒子會同時落在邊界上.