Abstract
在這篇論文中,我們將在某些假設下比較和估計Dirichlet邊界條件的Sturm-Liouville問題,Neumann邊界條件的Sturm-Liouville問題,混合邊界條件的Sturm-Liouville問題及週期性的Sturm-Liouville問題之固有值.而這些不同邊界條件的Sturm-Liouville問題敘述如后:假設p(x)是C'[0,1]函數且在[0,1]區間p(x)>0,(Dirichlet) [p(x)u'(x)]'+[kg(x)-q(x)]=0,u(0)=u(1)=0(Neumann ) [p(x)u'(x)]'+[wg(x)-q(x)]=0,u'(0)=u'(1)=0(Mixed ) [p(x)u'(x)]'+[sg(x)-q(x)]=0,u(0)=u'(1)=0(Periodic ) [p(x)u'(x)]'+[tg(x)-q(x)]=0,u(0)=hu(1),(conjugate h)u'(0)=u'(1), p(0)=p(1)=1 . 假設在(0,1)區間p(x)遞減且q(x)=0,我們比較混合邊界條件的Sturm-Liouville問題與Dirichlet邊界條件的Sturm-Liouville問題之固有值,應用Payne-Weinberger與邱成桐先生的技巧和Poincare's principle得到了一些不等式,而且這些不等式加強了Bandle-Philippin和Yang所做的結果.我們也研究出週期性Sturm-Liouville問題與Dirichlet邊界條件和Neumann邊界條件的Sturm-Liouville問題之固有值彼此間的位置關係以及一些有關的譜(spectral)性質;而這些結果推廣了Codditon-Levison(Theory of ordinary differential equations) 書中p.213 所言有關週期性Sturm-Liouville問題的知識且提供了一個研究週期性Sturm-Liouville問題的基本想法. 最後,我們利用變數變換將方程[p(x)u'(x)]'+[kg(x)-q(x)]=0 轉換成u''(x)+[kp(x)g(x)-p(x)q(x)]=0,再應用Poincare's principle估計Dirichlet邊界條件的Sturm-Liouville問題,Neumann邊界條件的Sturm-Liouville問題,與週期性的Sturm-Liouville問題之固有值.