Abstract
本文主要在研究線性化邊界條件的淺水波固有值及固有函數，而且偏重於固有值的解數及固有函數的零根。最後兩節討論到等周不等式及非線性邊界條件。在第一節我們對問題做大略的描述，並舉兩個簡單的例子做楔子。第二節裡，我們證明了主要定理：2-D 的問題中, 所有固有值的解數是1;並且在3-D 的問題中, 第一個非零的固有值的解數最多是2 。第三節我們提出固定深度及面積的對稱容器, 矩形容器有最大的第一個非零的固有值。第四節我們舉出在非遞減的非線性邊界條件問題中，可以用線性化邊界條件的方法做推廣，得到在非遞減的非線性邊界條件問題中其解數最多是2 。在研究過程中我們使用了調合函數的特質, 並應用Green 定理的幾種型式, 證明在此問題中, 等高線的某些特性, 並以此為出發點去研究本文的主要部分。最小原理及線性函數的特質也在本文占有重要地位, 而且是用來反證, 以證明主要定理。在本文中我們也提出一個對面域重新分割調整的方法，用以說明一些性質。由研究的結果，我們發現N-D 的問題的固有值的解數與固有函數的節域數與（N-1 ）-D的自由邊界條件下的薄膜振動問題可能相同, 此時薄膜形狀與T 的形狀相同。由積分方程式的維度較微分方程式少一維, 因此研究積分方程式的核或許可以給予較完整的解答。