Abstract
在數值線性代數中,如何尋找一已知矩陣的秩(rank),是一個較難以解決的 問題,而這類的計算問題,常常是很多數值方法的重心,比如:對一近乎線性 相依的線性系統,如何求得近似解?以及子集選擇(subset selection),矩 陣近似法(matrix approximation)和最小平方法(least squares problem),因此如何能有效地決定矩陣的秩,成為一重要問題.不容置疑地 奇異值分解(SVD),是決定矩陣秩最可靠的方法,但對大型稀疏矩陣而言,則 不是一可行的方法,因為其計算量相當大且會破壞稀疏的特性.目前最可信 賴的變換方法是秩表現QR(rank revealing QR)分解,也就是對矩陣的行( column)做適當的調換,使得QR分解後,原矩陣的秩可從上三角矩陣(upper triangular matrix)表現出來.本論文共分為五節:第一節:我們將簡介秩 表現QR分解(rank revealing QR factorizations)的演變及其應用.第二 節:說明一些特殊符號在這篇論文的意義,並且定義何謂numerical rank和 秩表現QR分解.第三節:將過去幾年來,各種不同秩表現QR分解的方法及其 優缺點,做較詳細的敘述.第四節:首先,我們將介紹修正後秩表現QR分解的 方法,然後利用這方法來處理一些問題,包括:(1)最小平方法(rank deficient least squares),(2)子集選擇(subset selsction) (3)近似矩 陣 (matrix approximations),和(4)等號限制的最小平方法 (least squares with equality constraints).其中問題 (4) 尚未完全解決.第 五節:結論.