Abstract
我們之所以要發展大衛生型態演算法,乃因傳統的 Lanczos與Arnoldi的方 法是適用來解絕對值最大的特徵值以及其所對應的特徵向量,但是如果要 以這些方法來求絕對值最小的特徵值以及其所對應的特徵向量時,就必須 用到shift-invert的技巧.但是這種技巧的缺點就是運算量大.然而在1975 年,大衛生提出了一個方法,這方法後來被稱為大衛生演算法.這個方法用 來解對稱矩陣中絕對值最小的特徵值,大衛生演算法的優點就可避免掉做 shift-invert的工作因而可以節省許多的運算量.本篇論文的目的就是要 發展大衛生型態演算法來求解兩個特徵值問題:(1)解Ax=.lambda.x,其中A 為非對稱矩陣.我們的目的是要求得絕對值最小的特徵值以及其所對應的 特徵向量.(2)解Ax=.lambda.Bx,其中A為對稱矩陣,B為正定或是半正定矩 陣.目的是要求得絕對值最小的廣義特徵值,以及其所對應的特徵向量. 在1986年,史考特分析原始大衛生演算法而提出預選矩陣的觀點.於是我們 便以此觀點而發展出以四種不同預選矩陣的大衛生型態演算法來解決上述 的兩個特徵值問題 .在本文裡,我們對大衛生型態演算法的性質與收歛行 為的分析做探討以及如何去選取一個好的預選矩陣才能有效地加速大衛生 型態演算法的收歛.我們也做了許多實例的數值結果來佐證大衛生型態演 算法的可行性與優越性.並且對於以各種預選矩陣的運算量都做了一些比 較.最後我們所得到的結果是以SSOR為預選矩陣的大衛生型態演算法有著 最快的收歛速率.