Abstract
我們在這篇論文裡所要處裡的主要問題是定義在有界實數區間[a,b]上的Strum-Liouville方程，考慮其成對邊界條件（coupled boundary condition）下的固有值（eigenvalue）與其相關性質。在傳統上，當方程的係數是週期函數時，週期（periodic）以及半週期（antiperiodic）邊界條件下固有值的一般性質是被熟知的，但我們在這裡則捨棄係數的週期性。在第一章裡，我們探討了若Strum-Liouville方程限定於一般的齊次（homogeneous）邊界條件時，在適當定義內積之後，整個問題形成自共軛（selfadjoint）的充要條件，以及當整個邊界問題是自共軛以後，固有值為離散的實數列，且必然有下界。由前述結果我們很容易驗證u(a)=k_1*u(b),u'(a)=k_2*u'(b)這種類型的成對邊界條件當k_1*k_2=p(b)/p(a)時使整個問題成為自共軛，而其固有值若同時Dirichlet與Neumann邊界條件下的兩個固有值序列加以比較後可以適當排序，這便是第二章的主要結果。基於第二章的一些引伸性質，我們知道由於固有函數（eigenfunction）零點個數無法確定，或者一般的成對邊界設定在Liouville轉換下並不保持自共軛，而使Pr"ufer轉換與Liouville轉換兩種常用於固有值漸進估計的途徑並不可行。我們迂迴應用Liouville轉換，以及常數變分公式（Variation of constant formula），可以得到典型成對固有值的第一項漸進式。