Abstract
半線性橢圓方程在一般有界域已被極廣泛的研究, 但主要的研究集中在方 程的多解性, 解的存在性, 正則性與穩定性, 而有關對稱性的研究則直 到 1979 年, 由 Gidas, Ni 和 Nirenberg 證出在有界對稱域上正解必定 對稱, 他們緊接著在 1981 年發表了全空間上正解的對稱性, 然而無界域 除了全空間外, 目前尚無類似的結果, 僅有一些關於對稱解存在性和正則 性的研究, 本文目的則在研究無界的對稱條形域上方程正解的漸進行為以 及對稱性。首先我們研究一維的情形, 即成為常微分方程的問題, 第一個 定理盡可能地將結果推到最廣, 使我們對稱性的結果包含了許多數學家所 關心的方程。接著我們探討一般情形下方程正解的漸進行為, 利用兩個比 較函數和最大值原理, 我們可以得到正解必為指數遞減, 再利用條形域上 線性方程的格林函數, 我們證明三維條形域上方程正解的更好估計, 並且 可以得到方程正解導數的估計。最後, 利用著名的 "移動平面" 法, 我們 證明了這篇文章的主要結果, 即方程正解的對稱性。本文共分五節, 第一 節為簡介, 第二節討論一維的情形, 第三和第四節討論解的漸進行為, 最 後一節證明方程正解的對稱性。