Abstract
本篇論文中我們將討論: 無界域中在何種條件下, 我們可得到毛細方程 式(ie, minimal surface equation with prescribed mean curvature and contact angle)之廣義解並且討論此解之平滑性. 由於一般而言, 對 於非線性微分方程式其解多為" domain dependence ",故在毛細問題中何 種域下會有解就顯得特別重要. 幸而在有界域的情況下, R. Finn, 在 其1984年的論文(cf.[6])中指出 : 毛細方程式解之存在性與其 subsidiary variational problem之解的不存在性等價. 因此只要我們所 討論的域能使 subsidiary variational problem 無解, 則此域上就可存 在一毛細曲面 (Capillary Surface). 換言之,由此我們可得到一個有界 域的限制條件, 在此條件下毛細曲面得以存在.另一方面, 毛細方程式本 是一三相系統 (Three-phase system)之能量泛函 (Energy functional) 的尤拉方程式. 故當 M. Miranda, 於1977年之論文(cf.[9]) 引入廣義 解之後, 我們更可經由討論廣義解的存在性及平滑性, 進而得到毛細方程 式解的存在性. 利用討論廣義解存在性及平滑性之方法在毛細問題上得到 重大成功的則有 E. Guisti,(cf.[3]) 及L.F. Tam,(cf.[12],[13]) 等 人.本文首先在第一節中証明無界域下廣義解的存在性定理 Theorem 1.2. 而後在第二節中模仿前文所提有界域的限制, 給出一無界域之限制 條件, 並在此條件與 Lemma 2.3 之限制下証明廣義解必定有界.最後在第 三節, 我們引用 M. Massari, 1974年著名的論文(cf.[10])來討論廣義解 的平滑性.