Abstract
首先, 我們先討論一些基本定義, 如果K 是一個局部緊致體, 則K 具有一個H a a r測度。我們用｜｜K 表示K 的範數, O ={﹋K｜｜a｜ <1}為K 的整數環, P ={a﹋K｜｜a｜K<1} 為的最大理想, 而且有下列的等式O ╱P =F,P =π O 及K =II πO .所以我們可以得到｜.｜ ＝q 當X﹋q O .令Ω(K )＝Hom(K,C ). 取W﹋Ω(K ), 我們可以得到S﹋ 和X﹋Hom(O, ),使得W(π)=q 和W｜O =X.我們取S(K) 為舒瓦玆空間。給一個多項式f(X)在K?X,…,X ?內, 則對所有的 ﹋S(K ), 我們可以定義W(f)( )=∫ W(f(X)) (X)dx對σ(W)>O.對特別的情況, 我們有Z (S)=∫｜f(X)｜ dx 就是我們的P-adic ζ函數。我們第二節所討論的是將Z (S) 有理化, 即討論Z (S) 是否可以化成t=q 的有理式, 在這節我們遵循lgusa 的方法, 用Hironaka定理證明。這個方法類似於K= 或 的形式。第三節所討論的是一些特別的例子。在本節中我們用到了隱函數定理及反函數定理,將Z (S) 化成僅有奇異點的部份。此外也舉了兩個例子應用導出的式子。最後一節所討論的是Denef 的公式, 同樣的使用Hironaka定理和簡化的方法得到Den-ef的公式, 由這個公式我們可以得到Igusa 的猜測, 即如果f(x)﹋O?X,…,X ?是一個齊次多項式。我們可以得到deg(f)＋deg (Z (S))＝O.