Abstract
此論文將證明幾個 y''(x) + [R - q(x)] y(x) = 0, y(-1)=y(1)=0,的性質．Rn 為固有值，yn(x) 為固有函數，n=1,2,..．已知 R1 < R2 <..，yn(x) 有 n-1 個零點．第一節的定理一至四先證明有關 Rn 的一些等式，然後研究當位能函數 q(x) 變為對稱函數 [q(x)+q(-x)]/2 之後其固有值 RSn 的變化．我們有 Rn <= RS(2n-1), n=1,2,..． 對 R1 再討論連續對稱時，q(t,x) = (1-t/2) q(x) + (t/2) q(-x), t 在 [0,1] 區間內，其第一固有值 R1(t) 隨 t 的絕對遞增性．由第二節可知道只有第一固有值有此性質．應用以上結果得到: 若 q(x) 在 [-l,l]區間內為奇函數，即 q(x)=-q(-x)，則必有不等式: Rn <= [(2n-1)*3.1416/l]^2．第二節針對 q(x)=mx 在區間 [0,l] 與 [-1,1] 內的固有值 Rn(m)與固有函數的行為作進一步分析．我們可由第一節的結果得到幾個基本的式子，並得知當 m>0 增大時，其固有函數的每一零點均向左移動．此外也給出Rn(m) 的上下界估計．然後我們研究 Rn(m) 在 m=0 附近的行為，發現Rn(m), n=2,3,.., 在 m=0 時為極小值， R1(m) 在 m=0 時為極大值．最後我們用同樣的方法可以得到 Rn(m) 與 yn(x) 對 m 在 m=0 的展開級數．第三節證明定理如下: 當位能函數 q(x) 在 [a,b] 可微，先遞減再遞增，則對第一固有函數 y1(x) 取對數後所得的函數在 (a,b) 區間內為凹口向下，即 (log(y1(x)))''< 0．