Abstract
本文將探討一個描述滯後現象的疊代過程。滯後現象是一種系統的狀態由 其經歷所決定的現象，通常發生於物理過程不是完全可逆的時候。我們先 考慮一個一維的波動方程式，這個方程式特殊的地方在於它擁有一個反饋 型式的非線性邊界條件，而這個邊界條件不但造成所謂的自發性振盪，也 使得波動方程式的解不唯一，所以我們考慮的是一個偏微分方程的邊界控 制問題。許世壁及陳鞏兩位教授曾對這個問題做過研究，他們分析一個可 用來理想化非線性電路設計的解，發現這個解在某種意義上表現出相當複 雜的行為。在本文中我們以不同的角度來看待這個邊界控制問題。利用偏 微分方程上特徵曲線的方法，我們先從上述波動方程式的非線性邊界條件 推導出一對平面曲線(滯後曲線)，再由這對平面曲線定義出我們的疊代過 程(滯後數列)，而這個疊代過程所具有的性質完全符合自然科學中的「不 連續滯後效應」。因為具有滯後效應，所以我們這□的疊代過程與一般的 函數疊代有所不同。本文的主要目的在瞭解滯後數列的漸近行為並增進對 上述波動方程式的認識。我們得到的結論是滯後數列的漸近行為表現出規 律的周期性，並沒有複雜性的產生。本文分四節，內容如下：第一節為簡 介；第二節由波動方程式的非線性邊界條件推導出滯後曲線及滯後數列， 並討論滯後曲線的若干幾何性質及滯後數列在波動方程式中的意義；第三 節建構一些滯後曲線的重要性質以便於第四節的分析；第四節研究滯後數 列的漸近行為。