Abstract
這一篇文章的目的主要在研究一個擬線性拋物型方程, 這個方程是一個具 有非常奇異擴散係數(very singular diffusion) 的熱方程, 其擴散係數 為 c(x,t) 的 m-1 次方, 其中 c(x,t) 為此方程的解, -1<m<0, x 屬於 R 的 n 次方, n 大於等於1, t>0 .我們將應用常微方程的方法來證明上 述方程的自相似解之存在性和唯一性, 也就是說我們將轉而考慮一個常 微分方程的初始值問題. 此常微分方程是依一個正參數而有所不同. 當此 參數等於1/2時, 此初始值問題的唯一解是常數. 因此, 我們將排除此情 況而將初始值問題分成兩個部份來討論 (1): 參數大於0且小於1/2, (2): 參數大於1/2.由於此初始值問題在變數 r=0 時是奇異的( singular). 因此我們先利用 Contraction Mapping Principle 來證明初 始值問題的局部(local)解存在而且唯一, 繼而證明此局部解可以被推至 所有的 r>0. 即此初始值問題有整體解(global solution), 其中當參數 大於0且小於1/2時, 初始值問題的解 f(r) 趨近於無限大, 當 r 趨近於 無限大. 當參數大於1/2時, 初始值問題的解 f(r) 趨近零, 當 r 趨近於 無限大.最後, 我們對 f(r) 當 r 趨近於無限大時的漸近行為作一些深入 的討論.