Abstract
令 f(x,y) 為二維三角級數的極限值函數，其型如下所示︰ΣΣ c(j,k)exp{i(jx+ky)}，其中ΣΣ表 j,k 分別從－∞加至－∞，{c(j,k)｜-∞< j,k < ∞}為二維度的複數值數列。假設 {(c,k)} 滿足下面條件︰ΣΣ c(j,k){ln(｜j｜+2)}{ln(｜k｜+2)} < ∞，其中ΣΣ表 j,k 分別從－∞加至－∞。則我們証明函數 f 在 T×T 上為連續性的，且函數｜f(x,y) - f(x,0) - f(0,y) - f(0,0)｜╱｜xy｜在 T×T 上是 Lebesgue-可積分的。另一方面，我們亦考慮上述定理之逆方向的可行性。對某些特殊的案例，我們建立了反方向的結果。例如︰假設對某些正整數 N，{c(j,k)} 滿足以下各條件︰ (1) c(j,k) ≧ 0 對 min(｜j｜,｜k｜) ≧ N， (2) ΣΣ ｜c(j,k)｜< ∞， (3) Σ ｜c(j,k)｜{ln(｜j｜+2)} <∞ (｜k｜= 0,1...,N)， (4) Σ ｜c(j,k)｜{ln(｜k｜+2)} <∞ (｜j｜= 0,1...,N)，其中ΣΣ表 j,k 分別從－∞加至－∞，(2)中之Σ表 j 從－∞加至－∞，(3)中之Σ表 k 從－∞加至－∞。則我們証明函數｜f(x,y) - f(x,0) - f(0,y) - f(0,0)｜╱｜xy｜在 T×T 上是 Lebesgue-可積分的事實隱含了ΣΣ c(j,k){ln(｜j｜+2)}{ln(｜k｜+2)} < ∞，其中ΣΣ表 j,k 分別從－∞加至－∞。這些結果可視為Boas [1] 從一維度 cosine 級數到二維三角級數的推廣，並且與陳 [3]及 Moricz [6, 8,9,10] 的工作有密切關聯。再者，我們亦以同樣方法考慮函數｜f(x,y)｜╱｜x｜的 Lebesgue-可積分性，如所預期地，我們建立了與上面相似的結果。最後，我們作了些評語。其中之一，乃針對一特別案例「二維 lacunary-sine 級數」將我們的結果與 Moricz' [6] 作比較。