Abstract
我們以二種不同的顏色隨意圖在一完全圖 的邊上, 所得到的圖就叫它為一個2-col-ored k . 而一個三邊均著同顏色的三角形, 我們叫它為一個同色三角形. 對任一圖G, 我們以f(G)代表G 中所包含有同色三角形個數. 而f(n)定義為min｛f(G):G 是一個2-colored k }.大家所熟悉的f(n)=0對n≦5均成立; 而G.P lya, R.E.Tarjan和D.R. Woods 合著的“Notes on introductory combinatorics” 一書中也給了 f(6)=2-個證明 . 而本文主要目的即對f(n)的一般性質加以進一步的研究.本文的研究方法大致與R.K.Guy 在“Graph theory and Application”一書中有關“Crossing number of graphs” 部分的研究情形相似. 首先, 我們建造一個2-color-ed 的圖, 算出它包含的同色三角形的數目, 並定義此數為g(n); 此g(n)即為f(n)的一個上界。然後, 仿造有關"Crossing number"的研究方法, 我們得到一個不等式:f(m)≧(m\r)f(r)/( ) 對所有m＞r＞3 成立. 由此不等式和已知的結果f(6)=g(6)=2, 我們逐一證明了 f(7)=g(7)=4, f(8)=g(8)=8 和f(9)=g(9)=12. 而對所有n＞9,我們得到f(n)的一個下界為n(n-1)(n-2)/42.由以上之敘述, 我們知道f(n)=g(n) 對所有n≦9均成立. 而由上述之不等式和已知的結果f(n)≒g(n), 我們有單向的歸納推理如下: 如果f(2n)=g(2n) 成立, 則f(2n+r)=g(2n+1) 亦成立. 因此, 我們有下列之推測: f(n)=g(n) 對所有n 均成立.