Abstract
在本篇論文中，我們考慮在平面上的耦合剛體以非線性的旋轉彈簧連結所 作的運動。其一是根據 Sreenath et al. 的模型，在空間中做自由振盪 而以非線性彈簧所連結的二維耦合剛體系統。另一為兩個密度均勻的鏈， 也同樣以非線性彈簧相連結，而一端點則是被固定所做的平面運動。在每 一個模型，我們都希望系統是可被穩定化的，使得我們能夠在平衡點附近 作穩定化系統的解的行為，甚至可以穩定化整個系統全域的解的行為。在 模型一，我們研究系統的動態行為以及在平衡點附近解的穩定性。由於平 衡點角速度的影響以及連結點彈簧種類的選擇，使得我們有更多平衡點發 生的可能性。平衡點附近解的穩定性，除了可用 Liapunov 的兩個定理來 證明之外，亦可由一些實例，藉由電腦的繪圖可得知平衡點的穩定與否。 當不穩定的平衡點發生時，我們藉由外力的輸入，使我們的解達到穩定的 狀況，因此整個系統就只剩下穩定的解存在。在模型二，我們同樣研究了 系統的動態行為以及在平衡點附近解的穩定性。由於連結點彈簧的彈力作 用，當我們施外力使得系統離開穩定的平衡點時，系統總是會再回復最初 的狀態，以保持最小的位能，當離開平衡點的角度很小時，系統會作週期 性的來回振盪。另外，當我們考慮兩個鏈的相對運動時，我們使一個鏈作 週期性的振盪，則系統由原本的週期性振盪，轉變為混沌的現象，此一結 果可以利用 Melnikov's method 得到說明。至於不穩定的平衡點，如同 模型一的方法，我們使得它得到穩定化的效果 。