Abstract
實體運算法的方法在現有的許多幾何模型系統仍是非常有限的，近年來，曲面方面的延伸運算有許多研究者專注於其在幾何模型系統之應用。在本篇論文的研究中，我們分別研究在2D與3D空間上放縮運算的二大問題--單一放縮曲面或曲面之建構和複合放縮曲線或曲面間之相互干擾(又稱為迴圈問題)，首先，有關曲線及曲面放縮運算之數學性質將會一一加以研究，然後我們會提出許多有效率的放縮曲線及曲面之運算。在單一放縮曲線或曲面之建構的研究中，我們先提出一點型控法的觀念，一點型控法可以非常有效率的產生一條三次伯濟耳曲線段且通過二端點及中間之型控點，由於此型控法的精神與放縮曲線的要求頗為相近，因此發展出一點型控之放縮伯濟耳三次曲線的方法。經過非常多的實證發現一點型控法不但簡單有效率，而且其結果並不輸於其他較複雜的系統。一點型控法之缺點在於型控點之適當參數值的選擇往往無法接近於最佳值，因此，我們進一步地將斜率之限制加入，使成為一點斜率型控法，同時由於加入斜率之要求（亦即所求曲線通過型控點時之曲線斜率要與所指定之斜率相同），因而能有系統化的方法計算出一較合理之參數值。在同樣之資料測試中即可以發現雖然斜率型控法要比原來單純之一點型控法的計算時間多些，但其結果都會比利用最小平方法為基礎之何氏法（Hoschek's method）要好。在經過少許的修正後，我們分別將一點斜率型控法再推廣到五次伯濟耳與三次有理式伯濟耳放縮曲線以及雙三次伯濟耳放縮曲面之建構，在這些推廣中我們均得到良好的結果。在曲線之迴圈問題中，我們首先研究放縮曲線的許多幾何性質，進而歸納出二大特性--方向性與封閉性，利用方向性可以過濾掉許多不合法的迴圈，而封閉性則可以選出完全合法之迴圈，由於此二特性可以由局部測試得知其結果，因此，我們設計了一個循序處理的方法，不但能得到完全正確的結果，同時還可增進處理之效率。均勻格子化法之引進將工作之平面空間均分成許多不互相重疊的區域，如此不但可使迴圈之測試更加局部化，當然也就能節省大量的計算成本，在適當的假設環境下，平均可達O(n)之時間需求，其中n 為曲線段數。由於我們的迴圈問題解法沒有牽涉到幾何中垂線之建構，所以我們的方法可以適用於其他數學表示法的曲線段，只要他們能產生各單一曲線段之放縮曲線即可。