Abstract
對於一個曲面的變形，要求保距且保持均曲率的研究，已有很長久的歷史，最早的是在１８６７年O ．Bonnet所做的，他的工作是局限在解析曲面上，並且對常數均曲率的曲面也獲致了一些結論。之後在１９２４年W ．C ．Graustein 著手進行在一般可微曲面上的研究，並沒有把這一類問題完全解決。１９５７年W ．Scherrer，１９８０年時R ．A ．Tribuzy 及１９８５年S ．S ．C-hern陸續提出了對於一個曲面上存在一組（兩個以上）這種變形的充要條件，但這些結果都是局部的。１９８１年Lawson和Tribuzy 推廣１９８０年的結果，而獲得了有趣且整體性的結果，他們的結論是在一個截面曲率為常數的３維流形□的２維緊緻曲面，若是均曲率不為常數，則最多存在一個這樣的保距且保持均曲率的變形。今年１９８８由A ．G ．Colares 和K ．Kenmotsu所提出的，是有關這方面問題的最新結果，他們用和陳省身類似的手法，活動標架法，討論這種問題對於存在一組這種變形的充要條件，推導出較簡潔明朗的型式，並且對高斯曲率是常數時，若有一組這種變形（兩個以上）存在時，高斯曲率一定是零，從而清楚的計算出這種曲面的變形的情形。而陳省身在１９８５年提出的結論也相當重要，他證明出局部存在一組這種變形的曲面是恰恰下面這兩種：一、均曲率為常數的曲面。二、均曲率不是常數的曲面，他由６個任意的常數決定，並且他是W-曲面，若給出新度量ds□＝（▽H）□dＳ□＝╱H□-K則新的高斯曲率必是- １，其中ds□是原來曲面上的度量，H 和K分別是均曲率和高斯曲率。在本篇論文□，我將局限在一個曲面的一塊上討論，並要求這塊曲面上沒有臍點，我想要做的，首先是將這些陸續提出的一組變形存在的充要條件做橫向的連結，即證明他們都是彼此等價的，進而我以不同於Kenmotsu的手法來證明當高斯曲率是常數而存在一組這種變形時，高斯曲率一定是零，再用這種方法來探討當第二基本式的長度是常數時，而存在一組這種變形，則高斯曲率一定要大於零。特別的，所有提到的變形都要求不是剛體運動。