Abstract
令R 是個結合環，定義Z 為R 的中心。對所有的Ｘ□，Ｘ□，……，ＸnεＲ，令〔Ｘ□，Ｘ□，……，Ｘn 〕＝〔〔Ｘ□，Ｘ□〕，Ｘ□〕…，Ｘn〕，其中〔Ｘ，Ｙ〕＝ＸＹ－ＹＸ，且定義〔 Ｘ，Ｙ〕n ＝〔Ｘ，Ｙ，Ｙ，……，Ｙ〕，ｙ有ｎ個。Herstein，Procesi ，Schacher等人在論文〔７〕中有如下的結果：若Ｒ為可除環滿足〔Ｘ，Ｙ〕mεＺ， 其中m 是由Ｘ，Ｙ所決定的正整數，則ｄｉｍz Ｒ≦４。令Ｒ是個對合環。令對稱元素的集合為Ｓ＝｛ＸεＲ：Ｘ*＝Ｘ｝。 令Ｔ＝｛Ｘ＋Ｘ*：ＸεＲ｝為所有traces的集合。而Ｋ＝｛ＸεＲ：Ｘ＝－Ｘ｝為所有斜對稱元素的集合。Ｋ□代表所有shew traces 的集合，即Ｋ□＝｛Ｘ－Ｘ* ：ＸεＲ｝。Giambruno把上面Herstein 他們的結果推廣到對合環上，他證明了下面的結果：若Ｒ為本質環，所有的Ｓ□，Ｓ□，…，Ｓnε Ｓ滿足〔Ｓ□，Ｓ□，…，Ｓn〕mεＺ，其中m 是由Ｓ□，Ｓ□…，Ｓn 所決定的正整數，則R 為單代數且ｄｉｍzＲ≦１６。在這裡，我們將推廣Giambruno 的結果如下：若Ｒ為不具非零冪零元素右理想的質環，對所有的ｔ□，ｔ□，…，ｔnεＴ 滿足〔ｔ□，ｔ□，…，ｔn 〕mεＺ， 其中m 由ｔ□，ｔ□， …，ｔn所決定，則Ｒ滿足標準等式Ｓ□。而當Ｒ為半單環時，也可以得到相同的結果，而且可以省略Giambruno〔４， 定理６〕中的條件２Ｒ＝Ｒ。