Abstract
令Ｍ是一完備黎曼流型且具有非正曲率，則卡當一阿得瑪定理（Cartan-HadamardTheorem）說：「對在Ｍ中的任一點Ｐ，ｅｘｐp：Ｍp→Ｍ是覆蓋映射（coveringmap）。」。因為Ｍp與ＩＲn是微分同構（diffeoinorphic ），故Ｍ的字覆蓋空間Ｍ與ＩＲn是微分同構。而且易知對於正整數ｉ＞１而言，同調群πi（Ｍ）是只含零元素的群。特別的一個狀況是當Ｍ是一簡單連通（Simply connected）的拓樸空間，則Ｍ是與ＩＲn是微分同構的。其實這是說：「在簡單連通的條件下，Ｍ在Ｐ點的切向量空間（Tangent space）Ｍp是跟Ｍ微分同構的且此微分同構映射（dlffeomorphism）是指數映射exp（exponential map）。」。若我們用另一種語言來說就是〞Ｍ中的每一點Ｐ都是標竿點（pale），（參看定義１．１）。〞由這個定理的啟示，我們發現Ｍ的每一點是否是標竿點是受到Ｍ的曲率所控制的。因此我們很自然的要問底下這個問題：〞當Ｍ中具有一點昃標竿點時，Ｍ的曲率函數會有怎樣的行為〞。在本篇論文中，我們將證明「Ｍ的α維截面曲率函數之下限為非正的。」。（可參看定理Ａ）。在詮文內容次序的安排是依據下面的次序的。在第一節中，我們給出標竿點的定義及一些與具有標竿點之性質的等價條件，然後再給出一些具有標竿點之流型的例子，而且我們將敘述一些具有模竿點之流型（manifold wlth a pole）的一些性質。在第二節中，我們將會用到一些變分法，特別是夾克柄向量場（facobi field's）來導本論文的主要結果定理Ａ及定理Ｂ。定理Ａ與定理Ｂ之敘述如下：定理Ａ：設Ｋ表示Ｍ的２維截面曲率函數（sectional curuatwe function），Ａp表示下面這個集合。Ａp＝｛（Ｘp，Ｙp）︱Ｘp，Ｙp Ｍp，且Ｘp，Ｙp是線性獨立｝，Ｐ Ｍ。若Ｍ具有一標竿點，則inf Ｋ（ＸpΛＹp）≦０。（Ｘp，Ｙp） ＡpＰ Ｍ定理Ｂ：故（Ｍ，０）是一具有。為標竿點之流型，dimＭ≧２。再令Ｋ表示Ｍ的２維截面曲率函數，ｄ（＊，＊）表示Ｍ的距離函數。若Ｕ表示點０的凸鄰近使得Ｋｌｕ≧Σ＞０則sup（０，ｘ）≦πΣ-1/2。ｘ ｕ