Abstract
西元1982年Herstein證明: R為一質環,Z為R的中心,且d為非零導算,若對於R中的每一元素x,d(x)的n次方屬於R的中心,其中n為一固定正整數,則R為一交換整環或是一位於4維中心單純代數之order. 又在西元1996年P.H.Lee和H.H.Shih證明: R為一有involution*之質環,Z為R的中心,且d為非零之斜*導算 (1)若對於R中每一對稱元素x,d(x)的n次方等於零,其中n為一固定正整數,則R為一交換整環或是一位於4維中心單純代數之order. (2)若對於R中每一對稱元素x,d(x)的n次方屬於R的中心,其中n為一固定正整數,則R為一交換整環或是一位於4維或16維中心單純代數之order. 在這篇論文裡,將證明: R為一有involution*之質環,Z為R的中心,且d為非零之*導算 (1)若對於R中每一斜對稱元素x,d(x)的n次方等於零,其中n為一固定正整數,則R為一交換整環或是一位於4維中心單純代數之order. (2)若對於R中每一斜對稱元素x,d(x)的n次方屬於R的中心,其中n為一固定正整數,則R為一交換整環或是一位於4維或16維中心單純代數之order. 引理1. R為一特徵值不為2且位於域F維度為2m之矩陣環,R中的involution*為symplectic型,假定a為R中斜對稱元素,n為一固定正整數,則 (1)若m >=2,且對於R中每一斜對稱元素k,(ak-ka)的n次方等於零,則a=0. (2)若m >=3,且對於R中每一斜對稱元素k,(ak-ka)的n次方屬於R的中心,則a=0. 引理2. 為引理1之推廣 引理3. R為一特徵值不為2且位於域F維度為m之矩陣環,R中的involution*為transpose型,假定a為R中斜對稱元素,n為一固定正整數,則 (1)若m >=3,且對於R中每一斜對稱元素k,(ak-ka)的n次方等於零,則a屬於R的中心. (2)若m =3或m >=5,且對於R中每一斜對稱元素k,(ak-ka)的n次方屬於R的中心,則a屬於R的中心. 引理4. 為引理3之推廣, 主要定理. R為一有involution*之質環,Z為R的中心,且d為非零之*導算 (1)若對於R中每一斜對稱元素x,d(x)的n次方等於零,其中n為一固定正整數,則R為一交換整環或是一位於4維中心單純代數之order. (2)若對於R中每一斜對稱元素x,d(x)的n次方屬於R的中心,其中n為一固定正整數,則R為一交換整環或是一位於4維或16維中心單純代數之order. 證明 假如d為一外*導算,由參考文獻[2]及[10]可得證.所以假定d為一內*導算,可把R看成一位於域F之向量空間,此時再分成有限維及無限維來討論.