Abstract
函數體，特別是函數體上的算術研究，是我論文研究的主要問題。首先，我把解析數論引進到函數體的王國□來，並且證明函數體上的大篩不等式是存在的，且利用此不等式證明了雙生不可分解多項式的密度是零。其次，我也研究算術數列中不可分解多項式分佈的問題及如何把一個多項式只改變後幾項的係數（大約改一半）使其成為一個不可分解多項式，這是一個古老而重要的問題。另外利用我們所得到的大篩不等式，也同樣可得到算術數列中不可分解多項式的分佈問題，不須借用解析上的方法及黎曼猜想，在此所得到的布朗－替許馬斯定理，其實在一些問題的應用上是優於利用解析方法所得到的不等式。最後，我也做了一些有關卡爾利茲模的研究，卡爾利茲模是船菲爾模□較簡單的一個，但是它跟函數體上的許多算術問題有很密切的關係。大約二百年前，高斯曾經考慮過質數分之一這分數的循環節問題，後來阿廷推廣了原來高斯的問題，今天人們稱它為阿廷猜想。事實上，這個猜想跟黎曼猜想有很大的關係。在一九六七年，護立在假設黎曼猜想成立的情形下，他證明了阿廷猜想是正確的。我論文的最後部份就是解決了卡爾利茲模上的阿廷猜想。函數體上的黎曼猜想早在本世紀的上半世紀就知道是正確的了。因此不須要任何的假設之下，我們就可以證明卡爾利茲模上的阿廷猜想是正確的。在證明卡爾利茲模上的阿廷猜想的過程中，我們須要用到不少知識，例如須要前面所證明的布朗－替許馬斯定理及牛頓法等。