Abstract
本篇論文探討加法鍊的問題，我們提出找尋最短加法鍊的計算方法,並以1至300000的整數為對象，測試計算方法的有效性，依此計算方法求出它們的最短加法鍊。由於尋找最短加法鍊的計算方法複雜度相當高，我們進一步探討加法鍊的理論性質；除了一般加法鍊外，也討論一些特殊的加法鍊，例如，包含兩個給定元素的加法鍊。我們探討這些加法鍊的特性，特別是有關加法鍊中小步數目的研究。我們有系統的推導這些結果，並以這些結果為基礎，證明加法鍊的其它特性。我們考慮兩類特別的整數，這兩類整數分別稱為短五及長五；我們研究這些整數的特性，並由一個整數的二進位表式，來辨認這個整數是長五抑或是短五。我們已確認了一些短五及長五的二進位型樣，除了得知它們的最短加法鍊的長度l(n)外，也決定了他們的最短加法鍊。因此，就這些整數而言，欲求得它們的最短加法鍊，不需要藉著計算機長時間的計算，由定理立可得知。這些定理可以辨認開頭為11，101，1001 的二進位整數，至於其它整數則仍可借助計算方法求得其最短加法鍊。論文中，除了探討加法鍊的特性外，我們也討論有關加法鍊的臆測，我們提出其中兩個臆測的反例，一個是說任何一個大於４的整數都有一個最短加法鍊始於１，２，４；另一個是關於l(n)的公式：l(n)=min{l(n-1) + 1, l} - δ，其中l=l(n/p)+l(p) 或∞，ｐ為ｎ的最小質因數；而δ＝０或１。