Abstract
此篇論文中, 我們將研習四個主要的橢圓方程解的存在性。其中部分方程來自於Jer-ome 論文中的一個半導體方程, 部分方程與Adimurthi 論文中的方程相關, 而Adimu-rthi論文中所用之方法無法適用於此篇論文中的相關方程且當Ω是一個包含於 的一個平滑有界開集時, 我們將推廣Jerome論文中的一個半導體方程, 而此篇論文中我們所用的方法是變異法, 以下乃是此篇論文的主要結論:定理一. 考慮方程（1.1） ｛ΔNu＋a（X）C -b（X）C ＋j（X,U）=0 在Ω, U＝0 在 Ω,這里ΔNu=diu(｜ U｜ U),Ω是一個包含於 (N≡2)的一個平滑有界開集, a(X)﹋L (Ω),b(X)﹋L (Ω),1<r,s<∞. 假如j 是一個一次連續可微的弱正函數且a (X)-b(X)＋j(x,u)在Ω上不全為零, 則(1.1) 有一個非零解在W (Ω).定理二. 考慮方程(1.2) ｛-Δu＋a(X)e -b(X)e -λu-N(X)=0 在Ω, u＝0 在 Ω,這里Ω是一個包含於 的一個平滑有界開集, λ是一個非負實數a(X)﹋L (Ω),b(X)﹋L (Ω),1<r,s<∞,N(X)﹋L∞(Ω). 假如a(X)-b(X)-N(X)在Ω上不全為零, 則(1.2) 有一個非零解在H (Ω).定理三. 考慮方程(1.3) ｛-Δu＋a(X)e -b(X)e -λu-N(X)=0 在Ω, U＝0 在 Ω,這里Ω, a(X),b(X),N(X)其假設與定理二相同, 但是λ>0. 假如｜Ω｜＜π╱ λ或者Ω在一個方向有界且寬度d＜1╱ λ, 且a(X)-b(X)-N(X)在Ω上不全為零, 則(1.3) 有一個非零解在H (Ω).定理四. 假如a(X)與b(X)在Ω上不完全相等, 則存在u 屬於W (Ω)╱｛O｝ 和一實數λ使得(λ,U)滿足方程(1.4) ｛-ΔNU＋a(X)e -b(X)e ＝λUp 在Ω, u＝0 在 Ω,這□Ω,a(X),b(X),ΔN 其假設與定理一相同, 且1≒P,∞.