Abstract
本文主要在探討以下的偏微分方程式（Ｅ） △ｕ＋Ｋｕ ＝０在R2上，且σ為一個大於１的常數，在此我們假設Ｋ≦０，對所有 ，而且Ｋ是HOLDER連續函數。方程式（Ｅ）在Rn，ｎ≧３，且當σ＝（ｎ＋２）╱（ｎ－２）時，為來自黎曼幾何的問題，我們再再贅述。為了對此類方程式的解有更深入的瞭解，我們在此研究方程式（Ｅ）在R2上正解的結構，其結果分述如下：定理Ｉ：假設（１）Ｋ≦０在R2上，且R2可分解成一群有界平滑簡單連通區域的聯集，亦即R2=，並且Ｋ＜０在每個Ω1 的邊界上。（２）方程式（Ｅ）存在正解ｖ在R2上。則函數U(X)=SUP{U(X) ｜U(X)為方程式（Ｅ）在R2上的正解} 在R2上到處有定義且為方程式（Ｅ）的一個正解。這個解我們稱為最大解（MAXIMAL SOLUTION）。定理Ⅱ：假設Ｋ≠０且Ｋ＝Ｋ（｜Ｘ｜）滿足（１）Ｋ（｜Ｘ｜）≦Ｋ（Ｘ）≦０對所有ｘ R2（２）圖表省略則對每一個正數ｃ，方程式（ｅ）存在一個正解ｕ（ｘ）在R2上且滿足ｕ（ｘ）╱log （ｘ）→ｃ 當｜ｘ｜→∞定理Ⅲ：假設Ｋ滿足（１）Ｋ≦０Ｂ且Ｋ≠０在R2上（２）圖表省略（３）｜Ｋ（ｘ）｜≦ｃ｜ｘ｜ 在｜ｘ｜夠大，對某個Ｌ≧１則對每一個正數ｃ，方程式（Ｅ）存在一個正解在R2上且滿足ｕ（ｘ）╱log ｜ｘ｜→ｃ當｜ｘ｜→∞在本文中符號“ｆ?ｇ”表示“存在兩個正數c1，c2使得c1ｆ≧ｇ≧c2ｆ”。定理Ⅳ：假設Ｋ≦０在R2，且Ｋ?－｜Ｘ｜-L在｜ｘ｜＝∞，對某個Ｌ＞２（１）對每一個正數ｃ，方程式（Ｅ）存在唯一一個正解ｕ。滿足ｕ ＝clog｜ｘ｜＋Ｏ（１）在｜ｘ｜＝∞（２）方程式（Ｅ）有最大解Ｕ存在且滿足圖表省略（３）令ｕ為程式（Ｅ）在R2上的一個正解，則ｕ＝Ｕ或ｕ＝ｕｃ，Ｃ為某一正數。定理Ⅴ：假設Ｋ≦０但≠０，且Ｋ有緊緻擔抬（COMPACT SUPPORT ）在R2上。（１）對每一個正數ｃ，方程式（Ｅ）存在唯一一個正解ｕｃ滿足ｕｃ＝clog｜ｘ｜＋０（１）在｜ｘ｜＝∞（２）令ｕ為方程式（Ｅ）在R2上的一個正解，則ｕ＝ｕｃ，Ｃ為某一正數。