Abstract
本文旨在探討半線性橢圓方程在一個對稱A軸且包含A軸又會包含有任意大的球的無界域且其也包住一個半徑L 大的圓柱其上解的存在；本文求得當L 足夠大則此方程會有解存在。要證得此證明首先須證得在我們先前所提的無界域上全局緊緻定理存在，然後再由此定理得推出一個引理: 若J有一個巴勒斯渼c序列，且 .alpha.< c <2^((p-1)/(p+1)).alpha.，則此數列包含有一個收斂的子數列。要求得此方程的解就如同要求I(u)=1/2.int.((.gradient.u)^2+ .lambda.u^2)-1/(p+1)*.int.u^(p+1)的臨界點；或求J(u)=.int.(.gri nt.u)^2+.lambda.u^2受限在u滿足.lambda.u^(p+1)=1，且u>0，的臨界點。所以若我們可找出c滿足上面引理，則數列巴勒斯渼c序列有收歛解。找c之前先做幾個cut-off函數，定義h(y)=(.phi.(x).ubar.(x-y))/. norm.(.phi.(x).ubar.(x-y))，可得lim max J(h(y))=.alpha. 則存在 e>0，使得對任意l.gtoreq.e，則max J(h(y))<2^((p-1)/(p+1)).alpha .,令c=inf max J(g(y))，固定l.gtoreq.e，則c<2^((p-1)/(p+1)).alp ha.，再經由一些引理去得出當l.gtoreq.e，且t足夠大時，.alpha. < c < 2^((p-1)/(p+1)).alpha.，且又得出c為J受限在.SIGMA.(.OMEGA.)的臨界值，所以由上面的引理：任何J的巴勒斯渼c序列，.alpha. < c < 2^((p-1)/(p+1)).alpha. 包含一個數歛子數列，則得出此半線性橢圓方程在.OMEGA.下的解。Let .OMEGA. be a A-symmetric domain in R^N which is unboundedin every direction and contains the A-axis. We assert thatthere is a higher energy solution in H(.OMEGA.) of semilinearelliptic equations in .OMEGA., if l is large enough.