Abstract
本篇論文,我們研究半線性橢圓(Semilinear Elliptic)方程式的解的存在性與多重性。此篇論文共分為三章:第一章,我們研究半線性 N-Laplacian 方程式在有界區域上的 Dirichlet 問題。當 N>1,且非線性項滿足一些充分條件,我們能證明方程式有非零解存在。特別 N=2 時,我們能證明解存在唯一且知道解空間的結構。第二章,我們研究半線性橢圓方程式在無界對稱區域Q上對稱解的多重性。此章中的 Q包含A={(x,x')在R^(N):x'=0},Q 對稱 A 且滿足對於任意 r>0,存在 a(r)>0 使得 {(x,x')在 R^(N): |x|<r, |x'|> a(r)} 包含於 Q。我們考慮 N>2,且非線性項對稱 A 並滿足一些適當的條件,則用集中緊緻原理(Concentrac- tionCompactness Principle)得到方程式有多重解;並且用對偶變異原理(Dual Variational Principle)得到相對於解的臨界點。第三章,我們研究半線性橢圓方程式在無界區域D上正解的撓動。令 N=m+n,其中 m,n>1,D=B*R^(n),其中 B是 R^(m)的平滑有界區域。當其撓動函數f的 L^(2)規範(L^(2 )-norm)足夠小且 f在 R^(n)方向是指數遞減,則用負-Laplacian的 Dirichlet問題在 B上的第一個特徵函數(eigenfunction),我們得到方程式解的成長速率。 最後,我們用集中緊緻原理和解的成長速率得到方程式有兩個正解。