Abstract
如果一個隨機變數系列{X} 中, 任意K 個不同元素所形成的子集合都有相同的分配涵數, 而這個分析涵數只與k 有關, 則我們稱這一個隨機變數系列是可交換的。一個從排列觀察值所得到的線性組合形式之極限分配已經由A.WALD和J.WOLFOWITZ 發展出一般性定理。然后JGOTTFRIED E.NOETHER將條件減弱得到漸進常態的結果。基本上這樣所形成的隨機變數是可交換的。H.CHERNOFF和H.TEICHER 將他們的結果擴展到可交換隨機變數之和。而后N.C.WEBER藉著σ- 場的適當選取和鞅方法而得到可交換隨機變數陣列之中央極限定理的簡單證明。在這篇論文的第二節我們敘述在下面各節中將被用到的預備定理。在第三節, 我們首先有一個定理和一些預備定理來補充說明WEBER 的定理證明, 因為WEBER 討論的是一個可交換隨機變數的陣列, 而不是系列, 但是他引用SCOTT 的定理一, 卻是一個鞅差系列的結果。因此除非他能有陣列下的結果, 他的證明才是完整無誤的。然后我們利用MCLEISH 的定理2.3 和一個與WEBER 類似的方法, 在較弱的條件下得到其結果, 此較弱的條件就是我們允許隨機變數的二次期望值不等於1,但是是一致有界的。我們并且利用HELLAND 的定理2.5,在不同的條件下得到其結果, 此時隨機變數的二次期望值我們放寬到o(n/logn),可以到無窮大。但另一方面, 將一原來機率收斂的條件加強為一次期望值收斂。在第四節, 我們比較這些定理之間的關系。然后我們給了一個例子說明定理3.5 是有意義的, 這個例子之隨機變數具有二次期望值趨近於二, 而不等於一; 其他的條件都滿足定理要求, 因此, 這樣的情形是存在的。