Abstract
關於固有值的研究, 由於定義域的改變而有所難易. 基於應用性, 固有值的估計遂成一重要的課題! 在本論文中, 主要的研究方向可分為三大部分. 主要的方法是使用R-ayleigh 商並選取特別的試驗函數.在第一部分中, 我們考慮如下的 Sturm-Liouville型方程式:y"(x)+〔λ-q(x)〕y(x)=0 x (-τ,τ)y(-τ)=0=y(τ)在q(A)為對稱遞增的假設下, 利用Beesack 不等式, 我們可得到一個與q(x)的L,範數有關的上界估計. 至於q(x)為對稱遞減的狀況, 在加入λ1≧qM 的假設下, 同樣的方法可得到一個類似的下界估計.在第二部分中, 我們在平面上一個固定面積的同心圓環上考慮Laplace 算子的第一個固有值的變化情形! 在使用極坐標表示並往由變數變換及Liouville 轉換後, 原問題轉換為--Sturm-Liouville 型式的微分方程式. 利用比較Rayleigh商的大小, 我們發現在面積固定的情形下, 當同心圓環的內半徑愈大時, 第一個固有值也愈大.在第三部分中, 我們在一些特殊旋轉曲面上考慮在一個固定面積的環帶區域上Lapla-ce算子的第一個固有值的估計. 使用第二部分中的方法, 再使用Trocsh不等式, 我們可得到一個與面積、體積有關的等周不等式。而此不等式中等號成立的充要條件是這個旋轉曲面是一個圓柱管！