Abstract
在這篇文章中, 我們考慮實數漢米爾頓矩陣M 之特徵值問題。將問題分成 非對稱與對稱矩陣兩類, 分別應用同倫連續法求解。並採用實數攝動參數 的同倫方程且保持矩陣D 與M 的結構。無論對稱或非對稱矩陣的情況, 假 如目的在求實數漢米爾頓矩陣M 的全部特徵組, 同倫連續方法的本質, 是 在初始矩陣D 的全部特徵組是已知, 追蹤由初始矩陣D 的特徵組出發之 特徵路徑而得到實數漢米爾頓矩陣M 的所有特徵組。因此, 在非對稱矩陣 問題, 當複數特徵路徑出現時, 則存在它的共軛特徵曲線且簡單可得。在 對稱矩陣問題,可得相異平滑曲線。針對漢米爾頓矩陣的特有結構設計同 倫方程, 可產生部份幾乎近於直線的特徵路徑且極易求得。因此在同倫演 算法中採用分割與合成的策略, 將原來矩陣的問題縮減為易解之較小維度 矩陣作為起始矩陣; 而合成的策略則是利用同倫法, 即先解被分割成的最 小矩陣之特徵值問題, 然後結合作為初始矩陣, 利用同倫演算法求解上一 層矩陣的特徵值問題, 繼續此程序直到解得實數漢米爾頓矩陣M的問題。 由於每條特徵路徑都可獨立被追蹤, 不受其它的之徑追蹤的影響, 因此同 倫法最大利益是可使用高階的平行計算處理。本文共分五節: 第一節簡 介; 第二節主要理論; 第三節我們討論了實數與複數特徵路徑的追蹤方法 和分歧點的辨認程序; 第四節介紹演算法使用了分割與合成的策略; 第五 節舉例表現同倫法的實際執行結果及探討損失所欲求之特徵組的情形。