Abstract
本篇論文主要是討論在哈地空間上的一些最佳化的問題.考慮一個在L^p空間上的函數(p=2或infinity),求取它和哈地空間(H^p)的距離及其最佳的逼近函數;或是考慮所有從單位圓內部對應到複數值域的H^infinity的插值函數,求取它們之間最小的H^infinity範數及這種狀況發生時的H^infinity函數.當p=2的時候,H^2是一個Hilbert空間,附帶有一個內積,所以這問題可以利用投影算子求解.而當p=infinity時,我們稱為Nehari問題;因為H^infinity並不是一個Hilbert空間,不能用投影方式來求解,但是透過算子理論這問題仍可獲得解決.引進對應原函數之Hankel算子,得到它的範數正好等於原函數到H^infinity空間的距離;另外再引入一個線性算子的最大化向量(maximizing vector),則可以實際求出最佳的逼近函數.最小範數的插值函數的問題經過一些簡易的推論可以轉換成Nehari問題來處理,應用前面所提的方法,這樣的問題也可以獲得解決.在實際運算時,原函數所對應的Hankel算子的最大化向量的存在性是極為重要的.當線性算子是緊緻(compact)時,則最大化向量一定會存在;而且當線性算子是有限秩(finite rank)時更可以輕易地求出它的最大化向量.當原函數是屬於H^infinity+RL^infinity(其中 RL^infinity是指L^infinity中 的有理函數)時,對應的Hankel算子有有限秩;當原函數是屬於H^infinity+C(boundary D)(其中 C(boundary D)是指在單位圓周上的連續函數)時,則對應的 Hankel算子是緊緻的.本文共分四節:第一節前言,講述哈地空間的一些基本概念及定理;第二節討論兩個最佳逼近問題,並引入Hankel算子和最大化向量的定義及一些性質;第三節是討論如何將最小範數的插值函數的問題轉換成Nehari問題,利用第二節的方法求解;第四節討論Hankel算子的秩(rank).