Abstract
在這篇論文□, 我們想要來研究的是在曲面M 上單連通區域D 的穩定問題, 其中此曲面是一個在四維常曲率空間X 中的超極小曲面. 所謂穩定問題是問固定ａD 時, 在D改變其形狀時, D 的面積是不是最小的. 如果D 的面積是最小的, 則我們稱D 是穩定的, 大略地說, 我們所用的方法是: 首先, 假設D 不是穩定的. 由第二變量公式, 對下列的偏微分方程式,△f+λΓf=0 在D'上, 而且f=0 在ａD'上,的第一個特徵值λ 做上界估計λ sα, 其中D'是D 子區域, Γ是M 上非負函數並且是由M 的高斯曲率 K和X 的常數曲率C 所決定, 其零點是一些在M 上的孤立點. 選取一保角度量 (此度量可能有退化的情形發生) dσ =Γds 其中 ds 是原來的度量. 我們知道在新度量之下, M 的高斯曲率k' k, 而K 是一正數, 利用標準對稱化的方法, 可以得到λ λ (D*), 其中D*是一個在曲率為 的球面上的測地圓盤而跟D'( 在d* 度量之下) 有相同的面積, 而λ (D*) 是在D*上的Dirichlet 問題的第一個特徵值. 因為我們能夠估計λ (D*) 並且視之為一個以D*的面積為變數的遞減函數, 所以可選取一定數A,使得若是D*的面積小於A 則λ (D*)＜α.最後我們有α λ λ(D*)＞α. 很明顯的, 這是矛盾的結果, 所以, D 是穩定的.這篇論文的結果是這樣子的.1.當C＞0時, 如果3c-K在D 上的積分值小於8π/ 5, 或2.當C O 時, 如果｜K｜ 在D 上的積分值小於8π/5.