Abstract
這篇論文主要是研究微分方程式Lu-K+Ke =O解的情形. 其中L=Σ, j=1Di( ijDi),( ij) 滿足均勻橢圓的條件, K, K是兩個光滑函數且K≦0.上述的微分方程式來自微分幾何. 假如 (M, g) 是一個維度2 的黎曼流形, 我們可以問這樣的問題: 給定一個高斯曲率K, 是否在流形M 上存在一個新的距離函數g, 且g 滿足e g=g, 使得由g 定出來的高斯曲率就是K 呢. 上述的問題等於解以下的微分方程式的問題:△ u-k+ke =O. 若取M=R, g 為常用的歐氐距離則得△u+ke =O.若取更一般的距離函數 g, 則我們等價於解Lu-K+Ke =O 這個方程式了.有許多數學家對上述的方程式產生興趣, 如 Ahfors, Osserrman, Oleinik,倪維明,鄭國順等. 他們得到許多存在性及非存在性的結果. 甚至在K 滿足某些條件下, 倪維明及鄭國順在他們的論文中可以將上述方程式的所有解分類.在這篇論文中我們打算推廣倪維明及鄭國順在拉普拉斯算子的結果到上述更一般的方程式. 我們使用了積分不等式取代了他們的微分不等式, 並使用一個不存在性定理及子調和函數的估計得到我們的主要定理. 將結果敘述如下: 令U 是方程式解當中的最大解, g 是L 這個微分運算子有極點在無窮大的格林函數, Uc是方程式的某一種特別解滿足Uc=c.g+0(1), 若K 滿足|x|＞1|K| |X| dx＜∞, k. exp(2C .g) 在 ｜X｜夠大的時候差不多等於1\|X| 且C ＞ K, 則方程式的第一個解答若不是等於Uc就是等於Uc, 其中 K＜C＜C,而且U 在無窮大的行為小於C .g-N, N 是任意的正整數.在這篇論文中我們幾乎可以得到與倪維明及鄭國順所人的同樣的結果, 但是因為不能清楚的知道｜▽g｜ 的估計, 所以對這個更一般化的微分方程式Lu-K+Ke =O 我們只能估計到U(X)＜C .g-N而無法估計到U=C .g-loglog|X|+O(1)