Abstract
在這篇論文裡，主要是在討論子流形的問題．即一個黎曼面全純地（holomorphical-ly）並且保距地（isometrically ）浸入C^2空間。其中主要的概念來自J ．Simons）所建立的公式。他在維數少 維的子形主定義了一個函數T ．T 是第二基本形式（t-he Second Tundamental form）的長度的平方，然後再對T 作拉普拉斯（Laplacian）運算，即得一個有意義的公式。稍後K ．Nomizu和B ．Smyth 利用這公式並加上均曲率（Mean curcaturc）為常數的條作，分別討論緊致子流形和完全子流形保距地浸入歐氏空間中的情形，其中在完全子流形的討論，還必須加上純量曲率（scalar cu-rvature ）是常數的條件。他們的討論還是限制在維數少．維的子流形上。差不多同一時間，陳省身將Simons的計算換成另一種方式表示，使得計算過程大為簡化，並且使得這個公式的意義更為明顯。所以，接下來主要是考慮維數少二維的子流形，通常對於一個n 維的黎曼流形M 保距地浸入一個n + ２維的黎曼流形M ，F = M M ，有關第二基本形式的計算是不容易得到結果的，但是如果F 是全純映射，那麼第二基本形式的計算透過加強的條件，便可以簡化，這時對T 的拉普拉斯運算便可求出。在這篇文裡我件如下的安排：在第二節，我們固定符號並且給出一些局部公式；在第三節，我們給出一些關於Kahler子流形的性質，最後一節，証明下面的定理：定理．令 ：M C 是把黎曼面M 全純地並且保距地浸入C 空間，若高斯曲率K 是常數，則高斯曲率必恆為零。