Abstract
這篇論文所探討的是定義在複數平面單位圓上平均振蕩為有界的函數（簡稱為 BMO函數）。開始的時候，人們對定義在實數n 度空間的BMO 函數作了很多研究，發現在任何一個方格中BMO 函數與它的平均值的差大於t 所占的部份隨著t 的增加而指數下降（稱為Jonh-Nirenberg定理，是John和Nirenberg 在一九六一年所證明的）。還發現 BMO函數所成的集合與H 的對偶空間（dual space）同構（稱為Fefferman 定理，是Feffe-rman 在一九七一年所證明的）。後來，人們逐漸也對定義在複數平面單位圓上的BMO 函數感興趣，其中，一九八零年左右Albert Baernstein II針對Poisson 積分在單位圓內為可解析的BMO 函數（簡稱為BMOA函數）作分析，發現這樣的函數滿足了複數觀點的John-Nirenberg定理與Fef-ferman 定理。我們又進一步修改了Albert Baernstein II的方法，使得函數的Poisson 積分在單位圓內必須可解析的條件可以去除，仍然導出John-Nirenberg定理。我們的方法是先證明BMO 函數和下面兩件事全等，一是M （f ）在H 中有界，二是對於固定的α＞1 ，存在常數K 和 β=β(α,f)，使得對所有的 g M(f), (Nαg＞t)＜Ke- 。然後由此導出在單位圓的任何一個子區間上BMO 函數和它的平均值的差大於t 所占的部份隨著t 的增加而指數下降（即複數觀點的John-Nirenberg定理）。而證明過程所用到的技巧包括某種特殊區域在單位圓內經由Automorphism轉換后的特質的運用，以及如果ｇ在單位圓上可積分且在圓內等於它的Poisson 積分，則 ∫∣g∣dμ =sup∫∣gr∣dμ ，且對於固定的α＞1 ，存在常數 C(α), 使得μ (Nαg＞t)≦(c (α) /t)∫∣g∣dμ 。最後，我們還節錄Albert Baernstein II所證明的：BMOA函數所成的集合和H 所對偶空間同構（即復數觀點的Fefferman 定理），使此文更為完整。