Abstract
在早期，許多環論學者研究環的交換性問題，也就是一個環滿足何種代數條件之在，它必定為交換環。Wedderburn首先證明出一個著名的定理，任何有限除環（finitedivision rings）都是體（fields）。接著，Jacobson證明出一環R 有以下的性質：對所有的x 屬於R ，x 皆為週期元素（periodic），則R 必定為交換環（commutati-ve rings）。Kaplansky 推廣以上的結果如下：若R 為一半單環（semisimple rings）且R 中的任何元素皆為冪方可換（powercentral），則R 必定為交換環。過後，H-erstein，Procesi和Schacher證明：若R 為一除環且對於所有的x ，y 屬於R ，（xy-yx ）皆為冪方可換，則R 為至多４維（４-dimensional）的除代數（division al-gebra ）。當R 為一對合環（rings with involution ），以上的問題也被考慮到。Herstein和Montgomery證明出類似Jacobson的結果，也就是若一環R 的每一對稱元素（symmetr-ic element）皆為週期元素，則R 必定為交換環。最近，Giambruno 在他的博士論文中證出以下的結果：若R 為一對合基環（primitive rings with involution ）使得對任何n 個對稱元素a ，…，d ，〔a ，……，d 〕皆為冪方可換，其中n 為大於或等於２的正整數，則R 至多為１６維之單代數（simple algebra）。我這篇文就是推廣Giambruno 的結果至b ＝…＝d 的情形。我們得到許多與Giambruno 平行的結果，並且在最後一節，將我的結果進一步的推廣到對合質環（prime rings with involu-tion）上。