Abstract
令R 為一質環，其中心記為Z,d 為R 上的一非零導算。S(n)表n 變元的標準多項式。Herstein證明若對於任何R 上的元素x,y,d(X)d(y)=d(y)d(x),則R 滿足S (4)。 若R為對合質環, Herstein證明若對於任何R 上的對稱元素s,t,d(s)d(t)=d(t)d(s),則R亦滿足S(4)。若我們將此條件改為對於R 上的斜對稱元素K,1,d(k)d(1)=d(1)d(k),則並不能得到類似的結果。林哲雄將此條件改為d(k)d(1)+d(1)d(k)=0,而證明若R 之特徵值不等於2,則R 滿足S(4)。在本篇論文中, 我們將證明若R 之特徵值不等於2,d(k)d(1)+d(1)d(k) 屬於Z,則R 滿足S(8)。在論文的最后, 我們舉一實例說明S(8)是所能得到的最好結果。因R 之特徵值不等於2,所以d(k)d(1)+d(1)d(k) 屬於Z 若且為若d(k)的平方屬於Z 。Herstein證明若存在一固定的正整數n 使得對於R 中的任何元素X,d(X)的n 次方屬於Z,則R 滿足S(4)。但類似的結果對於斜對稱元素並不成立。即對於任一正整數m,我們可以找到一個特徵值不等於2,3 的對何質環, 使得對於R 上的任何斜對稱元素K,d (K) 的3 次方等於0,但R 並不滿足S (m)。在本篇論文中, 我們分成幾個步聚來證明本定理。在引理２證明了若d(C)=O, 則R 滿足S(4), 多C 表R 之擴張形心。引理３證明了若此對合運算為第二型，則R 滿足S(4)。若R 為布於體的n 乘n 矩陣, 引理4 證明n 必為小於等於4, 而得到R 滿足S (8)。引理5 證明若R 為多項式恆等式環, 則R 滿足S(8)。引理6 證明若R 為具有極小右理想的本環, 則R 為布於一可除環的n 乘n 矩陣。綜合以上結果而證明了本定理。