Abstract
如題所述, 本論文主要在討論小作用力下 Burgers' Equation 震波形之存在性. 我們考慮的作用力為 F=varepsilon f(xi), 其中 varepsilon為一正數, xi=x-ct, c為常數. 在xi=x-ct 的轉換下, 我們的問題變成解常微分方程式 B(u)=-varepsilon f(xi), 其中B(u):=(nu)u"+cu'-uu' 為一算子, 初始條件為 B(u_0)=0, u_0 即 varepsilon=0 時之解.根據Sattinger (1976) 及 Robert L. Pego (1983) 發表的論文, 我們把 B看成由Banach Space H_a^2 到 Banach Space L_a^2 的算子. 在這種情形下, 我們自然會想到應用 Banach Inverse Function Theorem.不巧的是, 0 竟是 dB(u_0) 之固有值! 再定義一由 Banach Space H^2 到Banach Space L^2 之算子 T, 則 0 也是 T 之固有值. 由於0 是 T 之固有值的充分必要條件為 wronskian of 0 為 0, 又, wronskian 不□為0, 故得 0 為 T 之孤立固有值, 則可定義一投射 P. 引用 Tosio Kato之理論可得證(一)TP=PT, (二)TP=0, 又, dim(kerT)=1, 所以, dim(P)=1, P 把 H^2 分解成 kerT 及 H^2/kerT 之和. 相應地, 可定義投射tilde{P} 將 H_a^2 分解為 kerdB(u_0) 及H_a^2/kerdB(u_0) 之和.dim[kerdB(u_0)]=1, 故 H_a^2/kerdB(u_0) 為 Banach Space.於此同時,L_a^2 被分解為 tilde{P}L_a^2 及 (I-tilde{P})L_a^2. 此時定義tilde{B}為 H_a^2/kerdB(u_0) 上之算子, 則 dB([u_0]) 為一由 BanachSpace H_a^2/kerdB(u_0)到 (I-tilde{P})L_a^2 之算子, 若 aprioriestimate 成立, 則 dB([u_0]) 的反函數有界, 我們就可以應用 BanachInverse Function Theorem.